О, то

Графиком гармонических колебаний является синусоида (ри<^. 7).

Физическая география часть 26

Рис. 7

11. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания, возникающие в системе под действи­ем внутренних сил после того, как система была выведена из равновесного состояния и предоставле­на самой себе, называются свободными колебания­ми. Они могут происходить как в механических ко­лебательных системах, так и в электрических. Сво­бодные механические колебания могут совершать, например, груз на пружине или маятник на нити, электрические колебания происходят в колебатель­ном контуре.

Колебания с течением времени затухают (меха­нические — вследствие трения, электрические — из-за тепловых потерь в проводах и излучения электромагнитных волн). Однако если эти потери незначительны, то на протяжении небольших ин­тервалов времени колебания, можно считать гармо­ническими.

Для груза массой т., колеблющегося под дей­ствием пружины жесткости к, можно записать за­кон сохранения энергии:

— для математического маятника (колеблющей­ся в гравитационном поле Земли материальной точ­ки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой ни­ти длиной I) w – yjl’,

ГТГ

— для пружинного маятника w —

— для колебательного контура w

1

Vlc’

12. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями. Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы v совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы ио, происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний — резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при v ” fo внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний Am от частоты вынужда­ющей силы г/’представлен на рисунке 8.

Атп

kx

то

г

Физическая география часть 26

Рис. 8

const.

Отсюда видно, что в процессе колебаний проис­ходит периодическое превращение потенциальной энергии тела в кинетическую, и наоборот. В случае же электрических колебаний в контуре, содержа­щем конденсатор емкостью С и катушку индуктив­ностью L, закон сохранения энергии имеет вид:

> .2 2

+ – const.

2

2 С

В контуре происходит периодическое превращение энергии электрического поля конденсатора в энер­гию магнитного поля тока, и наоборот.

Частота свободных колебаний полностью опре­деляется свойствами самой колебательной системы. Поэтому ее называют собственной частотой систе­мы и рассчитывают:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

13. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Распространяющиеся в упругой среде возмуще­ния (отклонения частиц упругой среды от положе­ния равновесия) называются механическими вол­нами.

В любой механической волне существуют два вида движения: движение частиц среды (коле­бания) и движение возмущения (распространение волны). Если колебание частиц и распространение волны происходят в одном направлении, волну на­зывают продольной, а если эти движения идут в перпендикулярных направлениях, — понеречной.

Продольные волны, сопровождаемые деформа­циями растяжения и сжатия, могут распростра­няться в любых упругих средах. Поперечные же Волны могут возникать только в твердых телах, по­скольку для их возникновения необходимо появле­ние сил упругости при деформации сдвига (при сме­щении отдельных слоев друг относительно друга).

С распространением волны происходит переда­ча движения и деформации от одного участка сре­ды к другому, чему соответствует передача энергии: кинетической энергии движения и потенциальной энергии упругой деформации. Этим объясняется основное свойство механических волн (как и элек­тромагнитных) — перенос ими энергии без переноса вещества.

Скорость, с которой распространяется возмуще­ние в упругой среде, называют скоростью волны v. Скорость волны определяется только свойствами упругой среды, в которой она распространяется.

Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней Т, на­зывается длиной волны Л: А — v • Т. Поскольку скорость волны v определяется свойствами среды, а период колебаний в волне совпадает с периодом колебаний источника, то длина волны зависит как от свойств среды, так и от свойств источника. Ча­стицы среды, находящиеся на расстоянии длины волны друг от друга, колеблются в одинаковых фа­зах.

Скорость волны можно найти, если известна длина волны или частота колебаний:

v – � – Ле/.

14. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ MKT

Молекулярно-кинетическая теория (MKT) объ­ясняет тепловые свойства макроскопических тел на основе трех положений:

1) все тела состоят из огромного числа мельчай­ших частиц (молекул, атомов или каких-либо дру­гих); 19*

2) эти частицы непрерывно и хаотически дви­жутся;

3) частицы взаимодействуют друг с другом.

Число молекул в теле можно найти по формуле:

N — ^Na, где т — масса тела, М — молярная мас­ла

са (масса одного моля), Nд — постоянная Авогадро.

Молярная масса связана с относительной моле­кулярной массой соотношением М ■» Мг’ 10~3

моль

Постоянная Авогадро //д — 6 • 1023 моль“1 пока­зывает число атомов или молекул, содержащееся в одном моле любого вещества. Таким образом, мас­су одной молекулы можно рассчитать следующим образом: ото — M/Nд.

Хотя частицы вещества не имеют четких гра­ниц, их размеры можно ориентировочно опреде­лить так:

r~Vv0 Y Jv у pN V p у pNS

где Kq — примерный объем одной частицы, а р — плотность вещества.

Второе положение MKT подтверждается суще­ствование^ ряда явлений: диффузии — самопро­извольного перемешивания разных веществ вслед­ствие проникновения частиц одного вещества ме­жду частицами другого; броуновского движения — беспорядочного движения взвешенных в жидкости мелких частиц под действием ударов молекул жид­кости.

Силы взаимодействия частиц вещества проявля­ются только на расстояниях, сравнимых с разме­рами самих частиц. На очень малых расстояниях (меньших, чем размеры самих частиц) преобладают силы отталкивания, а на больших — силы притя­жения. Эти силы имеют электромагнитную приро­ду, поскольку возникают в результате взаимодей­ствия заряженных частиц — электронов и атомных ядер.

15. ТЕМПЕРАТУРА

Поначалу температура отражала только субъек­тивные ощущения тепла и холода. Однако в осно­ву научного, количественного определения темпе­ратуры был положен ряд объективных физических явлений и фактов.

При соприкосновении двух тел их частицы, сталкиваясь между собой, будут передавать друг другу энергию (в результате чего более быстрые из них будут замедляться, а более медленные начнут двигаться быстрее) до тех пор, пока не установится тепловое равновесие.

Чтобы ввести количественную меру нагретости тел — температуру, следует исходить из того, что она должна быть одинаковой у всех тел, находя­щихся в тепловом равновесии друг с другом. Для

тел, движение частиц которых рассматривается с помощью законов классической механики, таким свойством обладает средняя кинетическая энергия

поступательного движения частиц: Hk = По­

этому именно она и положена в основу определения температуры.

Величина, пропорциональная средней кинети­ческой энергии поступательного движения частиц, называется температурой тела:

т = Я*”

где k а; 1,38-10~23 Дж/К — постоянная Больцмана. Отсюда видно, что

Ifc – | кг.

Определяемую таким образом температуру на­зывают термодинамической или абсолютной, она измеряется в Кельвинах (К).

Термодинамическая температура не может быть отрицательной, ее минимальное значение Т 0 на­зывается абсолютный! нулем. При абсолютном ну – . ле тепловое движение частиц прекращается. Одна­ко абсолютный нуль недостижим.

Часто на практике бывает удобно за нулевую принять температуру тающего льда, а за 100 °С — температуру кипящей при нормальном давлении воды (шкала Цельсия). С термодинамической тем­пературой температура по Цельсию связана соотно – t шением Т – t + 273.

Задача на применение формулы связи скорости теплового движения молекул и абсолютной тем­пературы газа: При какой температуре скорость молекул кислорода достигнет первой космической скорости 7,9 км/с? Что случилось бы с атмосферой Земли при такой температуре?

Решение:

2 ТР.

где k я; 1,38 • 10 23 Дж/К — постоянная Больц­мана, а Ек ~ — средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц. Таким образом, искомая температура будет равна:

(1)

т — т°

1 3 к ‘

где от о — масса молекулы кислорода.

Массу молекулы кислорода можно найти:

(2)

от о

М_ ЛГл’

В свою очередь, молярная масса кислорода М находится с помощью периодической систе­мы Менделеева: относительная масса атома ки­слорода 16, но в молекуле кислорода два атома

16 • 2 – 32, значит, молярная масса газа кислорода М — 32 г/моль.

Подставив выражение (2) в формулу (1), полу­чим: _

rjr ш Мог

з kNK’

Вычисляем температуру Т:

J, ^ 32- 10″s кг/моль • 7,9 • 10s м/с ^

~ 3 • 1,38 • 10 м Дж/К • й • 10м моль”1

– 80000 К – 8 • 104 К.

При такой температуре атмосфера Земли рассе­ялась бы в космическом пространстве, поскольку молекулы стали бы двигаться с первой космиче­ской скоростью (i>i — 7,9 км/с). При такой ско­рости любое тело способно, преодолев притяжение Земли, уйти с земной орбиты в космос.

16. ДАВЛЕНИЕ ГАЗА. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

Давление, производимое газом на стенки сосу­да, достаточно просто объясняется на основе MKT газов. Это давление возникает вследствие того, что молекулы газа, беспорядочно двигаясь, ударяются о стенки сосуда, передавая им при каждом соударе­нии свой импульс. Суммарный импульс, передан­ный за единицу времени единице площади, — это и есть давление, производимое газом.

Идеальный газ состоит из молекул, которые обладают пренебрежимо малым объемом по сравне­нию с объемом сосуда, между молекулами не дей­ствуют силы притяжения, при соударении молекул. друг с другом и со стенками сосуда действуют силы отталкивания. Идеального газа в природе не суще­ствует — это упрощенная модель реального газа. Такое упрощение позволяет в ряде случаев гораз­до легче решать практические задачи. Реальный газ становится близким по свойствам к идеально­му, когда он достаточно нагрет и разрежен.

Существует два основных подхода к изучению газов: с учетом их молекулярного строения и ис­пользованием микропараметров (масса и скорость молекул, их концентрация и т. д.) и без учета моле­кулярного строения, когда газы описывают макро­параметрами (давлением р, объемом V, температу­рой Т).

Между микро – и макропараметрами существует связь, которая выражается основным уравнением

MKT газов: __

р – $m0nv2.

Из этого уравнения видно, что давление газа увеличивается с ростом концентрации его молекул и скорости их движения.

‘dm

Из основного уравнения MKT газов также сле­дует, что давление газа пропорционально произве­дению концентрации молекул на среднюю кинети­ческую энергию движения молекулы:

Это и есть плотность воздуха рв. Подставляя выра­жения (2) и (3) в неравенство (1), получаем:

рМ

RT

Молекуле кислорода два атома

| пЕк.

1 топи* – |п’-^-

Состояние газа описывается уравнением Менде­леева—Клапейрошг: pV = ~RT (m — масса газа,

м

Р>

М — молярная масса, R к 8,31 Дж/(моль • К) — универсальная газовая постоянная).

Если масса газа т остается постоянной, то про­цесс измерения состояния газа можно описывать с помощью уравнения Клапейрона:

выразив отсюда давление, получаем:

„ ^ 3mRT р г -—гг:-

Лпг М

Вычисляем давление р:

3 • 5 • Ю-’ кг • 8.31 Дж/(моль • К) • 280 К 4 • 3,14 • 29 • 10″” кг/моль • (10 2 м)3 ‘

р > 88 МП а.

PV_ Т

const.

Если при изменении состояния газа один из макро­параметров (р, V или Т) остается постоянным (та­кие процессы принято называть изопроцессами), то из уравнения Клапейрона получаются частные га­зовые законы:

pV = const при Т =• const — закон Бойля- Мариотта;

у

— = const при р = const — закон Гей-Люссака;

� = const при V = const — закон Шарля.

Задача на применение уравнения Менделеева— Клапейрона: На дне цилиндра, наполненного воз­духом, плотность которого (>в — 1,29 кг/м3, лежит полый металлический шарик радиусом г — 1 см и массой то — 5 г. До какого давления нужно сжать воздух в цилиндре, чтобы шарик всплыл? Опыт проводят при Т = 290 К. Воздух считать идеаль­ным газом с молярной массой М — 29-Ю”3 кг/моль.

Решение: Тело будет всплывать в том случае, если действующая на него архимедова сила будет больше или равна силе тяжести:

Vf>B8 > mg. или V(>Bg > V(>g,

откуда

!>в ^ (>, (1)

то есть когда плотность воздуха будет не меньше плотности шарика.

Плотность шарика равна:

3 то

. 4 3

(2>

Необходимую плотность воздуха найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

pV – ^RT, M

откуда

mB

(3)

pM RT

17. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА

Сумма кинетической энергии теплового движе­ния частиц вещества и потенциальной энергии их взаимодействия называется внутренней энергией тела: U — Еь + Ер — N •’Ек + Ер, где N — количество Частиц в теле, Ек — средняя кинетическая энергия одной частицы. Известно, что Ek зависит от тем­пературы тела, я Ер — от объема (поскольку с его изменением изменяется и среднее расстояние ме­жду частицами, а следовательно, и интенсивность их взаимодействия). Поэтому в общем случае вну­тренняя энергия зависит от температуры и объема тела.

Внутреннюю энергию тела можно изменить дву­мя способами: совершением работы, когда вну­тренняя энергия изменяется на величину, равную работе внешних сил А, и теплопередачей, при ко­торой изменение внутренней энергии характеризу­ется количеством теплоты Q.

Изменение внутренней энергии тела (системы тел) определяется первым законом (началом) тер­модинамики. И вменение внутренней энергии си­стемы ДU при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил А и коли­чества теплоты Q, переданного системе:

AU -A + Q.

Первый закон термодинамики — это обобщение закона сохранения и превращения энергии для тер­модинамической системы. Из него следует, что в изолированной системе внутренняя энергия сохра­няется при любых процессах (пос^льку для изо­лированной системы А = О и Q = О, то, значит, ДU — О, т. е. U = const).

Первый закон термодинамики свидетельствует о невозможности создания вечного двигателя, кото­рый мог бы неограниченно долго совершать работу, не заимствуя энергии извне (Q = О). Работу, совер­шаемую подобным двигателем, можно рассчитать таким образом: Адо – – А — Q – ДU = – AU « О, поскольку U1 = U2-

Задача на применение первого закона термоди – намнкн: В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой т — 2 кг (рис. 9). Для повышения его температуры на AT — б К ему было сообщено количество теплоты Q — 9160 Дж. Найти удельную теплоемкость ки­слорода ср, работу А, совершенную им при расши­рении, и увеличение его внутренней энергии AU. Молярная масса кислорода М — 0,032 кг/моль.

«ашшшш»

Рис. 9

Решение: На поршень действуют силы тяжести и атмосферного давления извне и сила давления ки­слорода изнутри. Первые две силы все время посто­янны.

Поскольку поршень в любой момент находится в равновесии, то во время нагревания давление ки­слорода р остается постоянным.

Поэтому ср — Q/(mAT).

Уравнения состояния газа до и после нагревания таковы:

Работа теплового двигателя состоит из повторя­ющихся циклов, каждый из которых таков: по­лучение рабочим телом энергии Q\ от нагревателя (температура которого Тi); расширение рабочего те­ла и совершение им полезной работы Апол; передача неиспользованной части энергии Qz холодильнику (температура которого Т2 всегда меньше, чем тем­пература нагревателя Т\)\ возвращение охлаждаю­щегося рабочего тела в исходное состояние.

Из первого закона термодинамики следует, что при завершении цикла рабочее тело приходит в первоначальное состояние, его внутренняя энергия не меняется:

ДГ/ – Uz – Ui – 0,

значит,

Q1 ™ Qz + Апол + Спотерь,

где (Зпотерь — энергия, теряемая за цикл на тепло­обмен с окружающей средой, на трение и т. д. От­сюда следует, что полезная работа, совершаемая за цикл, Апол ^ Q1 – Qz» где в случае равенства речь идет об идеальном двигателе, в котором нет потерь энергии.

Отношение полезной работы к энергии, которую получило рабочее тело от нагревателя, называют козффнцнентом полезного действия:

pVi – %RT 1 и Ру2